深度学习与反向传递机制-李宏毅机器学习
一、深度学习的发展趋势
回顾一下deep learning的历史：
- 1958: Perceptron (linear model)
- 1969: Perceptron has limitation
- 1980s: Multi-layer perceptron
- Do not have significant difference from DNN today
- 1986: Backpropagation
- Usually more than 3 hidden layers is not helpful
- 1989: 1 hidden layer is “good enough”, why deep?
- 2006: RBM initialization (breakthrough)
- 2009: GPU
- 2011: Start to be popular in speech recognition
- 2012: win ILSVRC image competition
感知机（Perceptron）非常像我们的逻辑回归（Logistics Regression）只不过是没有sigmoid激活函数。09年的GPU的发展是很关键的，使用GPU矩阵运算节省了很多的时间。
二、思考
为什么要用深度学习，深层架构带来哪些好处？那是不是隐藏层越多越好？
1.隐藏层越多越好？
从图中展示的结果看，毫无疑问，层次越深效果越好~~
2.普遍性定理
参数多的model拟合数据很好是很正常的。下面有一个通用的理论：
对于任何一个连续的函数，都可以用足够多的隐藏层来表示。
那为什么我们还需要 ‘深度’ 学习呢，直接用一层网络表示不就可以了？
三、深度学习的三个步骤
我们都知道机器学习有三个step，对于deep learning其实也是3个步骤：
- Step1：神经网络（Neural network）
- Step2：模型评估（Goodness of function）
- Step3：选择最优函数（Pick best function）
那对于深度学习的Step1就是神经网络（Neural Network）
Step1：神经网络
神经网络（Neural network）里面的节点，类似我们的神经元。
神经网络也可以有很多不同的连接方式，这样就会产生不同的结构（structure）在这个神经网络里面，我们有很多逻辑回归函数，其中每个逻辑回归都有自己的权重和自己的偏差，这些权重和偏差就是参数。
那这些神经元都是通过什么方式连接的呢？其实连接方式都是你手动去设计的。
1.完全连接前馈神经网络
概念：前馈（feedforward）也可以称为前向，从信号流向来理解就是输入信号进入网络后，信号流动是单向的，即信号从前一层流向后一层，一直到输出层，其中任意两层之间的连接并没有反馈（feedback），亦即信号没有从后一层又返回到前一层。
- 当已知权重和偏差时输入$(1,-1)$的结果
- 当已知权重和偏差时输入$(-1,0)$的结果
上图是输入为1和-1的时候经过一系列复杂的运算得到的结果
当输入0和0时，则得到0.51和0.85，所以一个神经网络如果权重和偏差都知道的话就可以看成一个函数，他的输入是一个向量，对应的输出也是一个向量。不论是做回归模型（linear model）还是逻辑回归（logistics regression）都是定义了一个函数集（function set）。我们可以给上面的结构的参数设置为不同的数，就是不同的函数（function）。这些可能的函数（function）结合起来就是一个函数集（function set）。这个时候你的函数集（function set）是比较大的，是以前的回归模型（linear model）等没有办法包含的函数（function），所以说深度学习（Deep Learning）能表达出以前所不能表达的情况。
我们通过另一种方式显示这个函数集：
全链接和前馈的理解
- 输入层（Input Layer）：1层
- 隐藏层（Hidden Layer）：N层
- 输出层（Output Layer）：1层
- 为什么叫全链接呢？
- 因为layer1与layer2之间两两都有连接，所以叫做Fully Connect；
- 为什么叫前馈呢？
- 因为现在传递的方向是由后往前传，所以叫做Feedforward。
深度的理解
那什么叫做Deep呢？Deep = Many hidden layer。那到底可以有几层呢？这个就很难说了，以下是老师举出的一些比较深的神经网络的例子
- 2012 AlexNet：8层
- 2014 VGG：19层
- 2014 GoogleNet：22层
- 2015 Residual Net：152层
- 101 Taipei：101层
随着层数变多，错误率降低，随之运算量增大，通常都是超过亿万级的计算。对于这样复杂的结构，我们一定不会一个一个的计算，对于亿万级的计算，使用loop循环效率很低。
这里我们就引入矩阵计算（Matrix Operation）能使得我们的运算的速度以及效率高很多：
2.矩阵计算
如下图所示，输入是 $$\begin{bmatrix}&1&-2\ &-1&1\end{bmatrix}$$，输出是$$\begin{bmatrix}&0.98\ &0.12\end{bmatrix}$$。
计算方法就是：sigmoid（权重w【黄色】 * 输入【蓝色】+ 偏移量b【绿色】）= 输出
其中sigmoid更一般的来说是激活函数(activation function)，现在已经很少用sigmoid来当做激活函数。
如果有很多层呢？
$$a^1 = \sigma (w^1x+b^1) \
a^2 = \sigma (w^1a^1+b^2) \
··· \
y = \sigma (w^La^{L-1}+b^L) $$
计算方法就像是嵌套，这里就不列公式了，结合上一个图更好理解。所以整个神经网络运算就相当于一连串的矩阵运算。
从结构上看每一层的计算都是一样的，也就是用计算机进行并行矩阵运算。
这样写成矩阵运算的好处是，你可以使用GPU加速。
整个神经网络可以这样看：
3.本质：通过隐藏层进行特征转换
把隐藏层通过特征提取来替代原来的特征工程，这样在最后一个隐藏层输出的就是一组新的特征（相当于黑箱操作）而对于输出层，其实是把前面的隐藏层的输出当做输入（经过特征提取得到的一组最好的特征）然后通过一个多分类器（可以是softmax函数）得到最后的输出y。
4.示例：手写数字识别
举一个手写数字体识别的例子：
输入：一个16*16=256维的向量，每个pixel对应一个dimension，有颜色用（ink）用1表示，没有颜色（no ink）用0表示
输出：10个维度，每个维度代表一个数字的置信度。
从输出结果来看，每一个维度对应输出一个数字，是数字2的概率为0.7的概率最大。说明这张图片是2的可能性就是最大的
在这个问题中，唯一需要的就是一个函数，输入是256维的向量，输出是10维的向量，我们所需要求的函数就是神经网络这个函数
从上图看神经网络的结构决定了函数集（function set），所以说网络结构（network structured）很关键。
接下来有几个问题：
- 多少层？ 每层有多少神经元？
这个问我们需要用尝试加上直觉的方法来进行调试。对于有些机器学习相关的问题，我们一般用特征工程来提取特征，但是对于深度学习，我们只需要设计神经网络模型来进行就可以了。对于语音识别和影像识别，深度学习是个好的方法，因为特征工程提取特征并不容易。 - 结构可以自动确定吗？
有很多设计方法可以让机器自动找到神经网络的结构的，比如进化人工神经网络（Evolutionary Artificial Neural Networks）但是这些方法并不是很普及 。 - 我们可以设计网络结构吗？
可以的，比如 CNN卷积神经网络（Convolutional Neural Network ）
Step2: 模型评估
1.损失示例
对于模型的评估，我们一般采用损失函数来反应模型的好差，所以对于神经网络来说，我们采用交叉熵（cross entropy）函数来对$y$和$\hat{y}$的损失进行计算，接下来我们就是调整参数，让交叉熵越小越好。
2.总体损失
对于损失，我们不单单要计算一笔数据的，而是要计算整体所有训练数据的损失，然后把所有的训练数据的损失都加起来，得到一个总体损失L。接下来就是在function set里面找到一组函数能最小化这个总体损失L，或者是找一组神经网络的参数$\theta$，来最小化总体损失L
Step3：选择最优函数
如何找到最优的函数和最好的一组参数呢，我们用的就是梯度下降，这个在之前的视频中已经仔细讲过了，需要复习的小伙伴可以看前面的笔记。
具体流程：$\theta$是一组包含权重和偏差的参数集合，随机找一个初试值，接下来计算一下每个参数对应偏微分，得到的一个偏微分的集合$\nabla{L}$就是梯度,有了这些偏微分，我们就可以不断更新梯度得到新的参数，这样不断反复进行，就能得到一组最好的参数使得损失函数的值最小
1.反向传播
在神经网络中计算损失最好的方法就是反向传播，我们可以用很多框架来进行计算损失，比如说TensorFlow，theano，Pytorch等等
四、反向传播详解
背景
1.梯度下降
- 给到 $\theta$ (weight and bias)
- 先选择一个初始的 $\theta^0$，计算 $\theta^0$ 的损失函数（Loss Function）设一个参数的偏微分
- 计算完这个向量（vector）偏微分，然后就可以去更新的你 $\theta$
- 百万级别的参数（millions of parameters）
- 反向传播（Backpropagation）是一个比较有效率的算法，让你计算梯度（Gradient） 的向量（Vector）时，可以有效率的计算出来
2.链式法则
- 连锁影响(可以看出x会影响y，y会影响z)
- BP主要用到了chain rule
反向传播
- 损失函数(Loss function)是定义在单个训练样本上的，也就是就算一个样本的误差，比如我们想要分类，就是预测的类别和实际类别的区别，是一个样本的，用L表示。
- 代价函数(Cost function)是定义在整个训练集上面的，也就是所有样本的误差的总和的平均，也就是损失函数的总和的平均，有没有这个平均其实不会影响最后的参数的求解结果。
- 总体损失函数(Total loss function)是定义在整个训练集上面的，也就是所有样本的误差的总和。也就是平时我们反向传播需要最小化的值。
对于$L(\theta)$就是所有$l^n$的损失之和，所以如果要算每个$L(\theta)$的偏微分，我们只要算每个$l^n$的偏微分，再把所有$l^n$偏微分的结果加起来就是$L(\theta)$的偏微分，所以等下我们只计算每个$l^n$的偏微分。
我们先在整个神经网络（Neural network）中抽取出一小部分的神经（Neuron）去看（也就是红色标注的地方）：
取出一个Neuron进行分析
从这一小部分中去看，把计算梯度分成两个部分
- 计算$\frac{\partial z}{\partial w}$（Forward pass的部分）
- 计算$\frac{\partial l}{\partial z}$ ( Backward pass的部分 )
1.Forward Pass
那么，首先计算$\frac{\partial z}{\partial w}$（Forward pass的部分）：
根据求微分原理，forward pass的运算规律就是：
$\frac{\partial z}{\partial w_1} = x_1 \ \frac{\partial z}{\partial w_2} = x_2$
这里计算得到的$x_1$和$x_2$恰好就是输入的$x_1$和$x_2$
直接使用数字，更直观地看到运算规律：
2.Backward Pass
(Backward pass的部分)这就很困难复杂因为我们的l是最后一层：
那怎么计算 $\frac{\partial l}{\partial z}$ （Backward pass的部分）这就很困难复杂因为我们的$l$是最后一层：
计算所有激活函数的偏微分，激活函数有很多，这里使用Sigmoid函数为例
这里使用链式法则（Chain Rule）的case1，计算过程如下：
$\frac{\partial l}{\partial z} = \frac{\partial a}{\partial z}\frac{\partial l}{\partial a} \Rightarrow {\sigma}’(z)$
$\frac{\partial l}{\partial a} = \frac{\partial z’}{\partial a}\frac{\partial l}{\partial z’} +\frac{\partial z’’}{\partial a}\frac{\partial l}{\partial z’’}$
最终的式子结果：
但是你可以想象从另外一个角度看这个事情，现在有另外一个神经元，把forward的过程逆向过来,其中${\sigma}’(z)$是常数，因为它在向前传播的时候就已经确定了
case 1 : Output layer
假设$\frac{\partial l}{\partial z’}$和$\frac{\partial l}{\partial z’’}$是最后一层的隐藏层
也就是就是y1与y2是输出值，那么直接计算就能得出结果
但是如果不是最后一层，计算$\frac{\partial l}{\partial z’}$和$\frac{\partial l}{\partial z’’}$的话就需要继续往后一直通过链式法则算下去
case 2 : Not Output Layer
对于这个问题，我们要继续计算后面绿色的$\frac{\partial l}{\partial z_a}$和$\frac{\partial l}{\partial z_b}$,然后通过继续乘$w_5$和$w_6$得到$\frac{\partial l}{\partial z’}$，但是要是$\frac{\partial l}{\partial z_a}$和$\frac{\partial l}{\partial z_b}$都不知道，那么我们就继续往后面层计算，一直到碰到输出值，得到输出值之后再反向往输入那个方向走。
对上图，我们可以从最后一个$\frac{\partial l}{\partial z_5}$和$\frac{\partial l}{\partial z_6}$看，因为$\frac{\partial l}{\partial z_a}$和$\frac{\partial l}{\partial z_b}$比较容易通过output求出来，然后继续往前求$\frac{\partial l}{\partial z_3}$和$\frac{\partial l}{\partial z_4}$，再继续求$\frac{\partial l}{\partial z_1}$和$\frac{\partial l}{\partial z_2}$
最后我们就得到下图的结果
实际上进行backward pass时候和向前传播的计算量差不多。
总结
我们的目标是要求计算$\frac{\partial z}{\partial w}$（Forward pass的部分）和计算$\frac{\partial l}{\partial z}$ ( Backward pass的部分 )，然后把$\frac{\partial z}{\partial w}$和$\frac{\partial l}{\partial z}$相乘，我们就可以得到$\frac{\partial l}{\partial w}$,所有我们就可以得到神经网络中所有的参数，然后用梯度下降就可以不断更新，得到损失最小的函数。