每日一题【20200806】

主成分分析法

例

30个市经济各项水平统计如下，请针对各市经济水平做综合评价。
指标如下：GDP、居民消费水平、固定资产投资、职工平均工资、货物周转量、居民消费价格指数、商品零售价格指数、工业总产值

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%1.对原始资料矩阵进行标准化处理
zef_data = xlsread('zhengfu.xlsx','A1:H30');
z = zscore(zef_data)
%2.计算相关系数矩阵
cor = corrcoef(z)
%3.计算该相关系数矩阵的特征值和特征向量，并对特征值进行排序
[vec, val] = eig(cor)  %特征向量vec  特征值val
newval = diag(val);  %取主对角线上的数值，排成一列数组
newy = sort(newval, 'descend')
%4.确定主成分个数
newrate = newy./sum(newy)  %求方差贡献率
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vec =
    0.0109    0.5539    0.4080   -0.1042    0.0890    0.2307    0.6671    0.0977
   -0.0771   -0.3504    0.3043   -0.4476   -0.4496   -0.4534    0.2001    0.3613
    0.4191    0.4359   -0.5288   -0.2359   -0.2482    0.0325   -0.1290    0.4688
   -0.6966    0.2717    0.0032    0.4111   -0.1323   -0.0710   -0.1781    0.4665
   -0.2552   -0.2215    0.0281   -0.5299    0.4367    0.5087   -0.1960    0.3411
    0.5152   -0.1608    0.5043    0.4166    0.1020    0.1151   -0.2373    0.4482
   -0.0497    0.0252    0.2152   -0.0557   -0.6998    0.5873   -0.2350   -0.2401
   -0.0024   -0.4806   -0.3998    0.3266   -0.1415    0.3438    0.5626    0.2183
val =
    0.0119         0         0         0         0         0         0         0
         0    0.0489         0         0         0         0         0         0
         0         0    0.0721         0         0         0         0         0
         0         0         0    0.1662         0         0         0         0
         0         0         0         0    0.5028         0         0         0
         0         0         0         0         0    1.1819         0         0
         0         0         0         0         0         0    1.9446         0
         0         0         0         0         0         0         0    4.0716
newy =
    4.0716
    1.9446
    1.1819
    0.5028
    0.1662
    0.0721
    0.0489
    0.0119
newrate =
    0.5089
    0.2431
    0.1477
    0.0629
    0.0208
    0.0090
    0.0061
    0.0015

由方差贡献率可知：0.5089+0.2431+0.1477>0.8,因此7、6、5后三项作为主成分。
下图所示为特征向量值，所以7、6、5倒数3列为各省主成分。

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vec =
    0.0109    0.5539    0.4080   -0.1042    0.0890    0.2307    0.6671    0.0977
   -0.0771   -0.3504    0.3043   -0.4476   -0.4496   -0.4534    0.2001    0.3613
    0.4191    0.4359   -0.5288   -0.2359   -0.2482    0.0325   -0.1290    0.4688
   -0.6966    0.2717    0.0032    0.4111   -0.1323   -0.0710   -0.1781    0.4665
   -0.2552   -0.2215    0.0281   -0.5299    0.4367    0.5087   -0.1960    0.3411
    0.5152   -0.1608    0.5043    0.4166    0.1020    0.1151   -0.2373    0.4482
   -0.0497    0.0252    0.2152   -0.0557   -0.6998    0.5873   -0.2350   -0.2401
   -0.0024   -0.4806   -0.3998    0.3266   -0.1415    0.3438    0.5626    0.2183
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%5.计算主成分得分
sco = z * vec
%6.建立排序指标，进行排序
nowsco = sco(:, end) .* newrate(1) + sco(:, end-1) .* newrate(2)+ sco(:, end-2) .* newrate(3)
[a,x] = sort(nowsco, 'descend')
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%倒数第一列是第一主成分在30个城市中的得分，倒数第二列是是第二主成分在30个城市中的得分
sco =
   -0.2671    0.4404   -0.1319    0.7683    0.0348   -1.0019   -0.8083    3.1053
   -0.1212   -0.0731    0.1029    0.5436    0.9089   -1.9800   -0.7629    2.6881
   -0.0113    0.4556   -0.3883   -1.0661    0.9795    2.9656   -1.0149    3.3810
    0.0458    0.1186    0.2694    0.6032    0.2964    0.8737   -1.5556    1.3791
    0.0503    0.0518    0.6655    0.2457   -0.0388    1.0481   -2.0285    1.0424
   -0.2491   -0.7849    0.0103   -0.2186    0.6038    1.4134    0.4535    3.2715
    0.2483   -0.0634    0.2053    0.5152    0.2555   -0.0685   -1.0577    1.6799
    0.3040   -0.2936    0.0847   -0.0270    0.1158    0.5102   -0.2808    2.5044
    0.0840    0.0376   -0.3266   -0.4305   -2.3921   -1.8753    0.8014    5.5768
    0.0004   -0.0170    0.0486    0.2251   -0.0212    0.6055    3.1295   -0.2001
   -0.0152    0.1412    0.3801   -0.4242    0.2755   -0.7199    1.4977   -0.4861
    0.0839    0.0399   -0.4196    0.1720    1.0203   -0.7362    0.5886   -0.9374
   -0.0532    0.0089    0.4601   -0.6610   -0.0587   -0.9762    0.3208   -0.8409
    0.0016    0.0192   -0.1305    0.0309   -0.1090    0.0185   -0.4284   -1.5195
    0.0368   -0.0624   -0.2698    0.5473    0.1708    0.8670    3.1543   -0.2973
    0.0512    0.0868   -0.3433    0.4549    0.2526    0.5363    1.2403   -1.0387
   -0.0414   -0.1997   -0.0449    0.1098   -0.6326    0.6207    0.7261   -1.1425
   -0.0019    0.0704   -0.0080    0.0072   -0.0855    0.0907    0.3834   -1.2070
    0.0062    0.2360    0.5092   -0.4653    0.7371   -0.9719    3.1392    0.2452
   -0.0202    0.1367    0.0953   -0.0901   -0.3339    0.1565   -0.2945   -1.5072
    0.0614   -0.1975   -0.3144   -0.3866    1.3292   -2.1673   -0.5809   -0.9178
   -0.0205    0.1694    0.0782    0.2735   -0.6234    1.1873    1.3348   -1.1501
   -0.0142    0.1213   -0.0579    0.0199   -0.4379    0.3117   -1.1431   -1.9150
   -0.0636   -0.1021    0.0482    0.0060   -0.9963    0.7430   -0.5425   -1.7106
    0.0281    0.0692   -0.1999   -0.1376    0.3650   -0.7658   -1.3861   -1.7108
   -0.0311   -0.0777   -0.0733    0.0158   -0.5475    0.3302   -0.6233   -1.6505
   -0.0028   -0.0617   -0.2341    0.0926   -0.2533    0.1336   -0.9374   -1.7505
   -0.0382   -0.0898    0.0388   -0.3045   -0.3436   -0.4329   -1.3358   -1.7028
   -0.0039   -0.0719   -0.1110   -0.2239    0.0702   -0.6892   -1.2226   -1.6105
   -0.0471   -0.1084    0.0569   -0.1955   -0.5414   -0.0271   -0.7662   -1.5784

下面展示的为各个市按照上面计算得到的结果以及原数据排名。

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82
83
84
85
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87
88
89
90
91
92
93
nowsco =
    1.2360
    0.8902
    1.9122
    0.4528
    0.1923
    1.9841
    0.5877
    1.2817
    2.7561
    0.7483
    0.0103
   -0.4428
   -0.4942
   -0.8748
    0.7435
   -0.1479
   -0.3133
   -0.5077
    0.7443
   -0.8155
   -0.9285
   -0.0855
   -1.2065
   -0.8927
   -1.3208
   -0.9428
   -1.0990
   -1.2553
   -1.2187
   -0.9936
a =
    2.7561
    1.9841
    1.9122
    1.2817
    1.2360
    0.8902
    0.7483
    0.7443
    0.7435
    0.5877
    0.4528
    0.1923
    0.0103
   -0.0855
   -0.1479
   -0.3133
   -0.4428
   -0.4942
   -0.5077
   -0.8155
   -0.8748
   -0.8927
   -0.9285
   -0.9428
   -0.9936
   -1.0990
   -1.2065
   -1.2187
   -1.2553
   -1.3208
x =
     9
     6
     3
     8
     1
     2
    10
    19
    15
     7
     4
     5
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    22
    16
    17
    12
    13
    18
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    14
    24
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    27
    23
    29
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    25

参考

  1. NULL ↩
学习 > 数学建模
#数学建模 #主成分分析 #标准化处理 #相关系数矩阵 #特征值 #特征向量 #主成分得分 #排序
每日一题【20200806】
https://blog.baixf.tk/2020/08/06/每日一题/每日一题【20200806】/
作者
白小飞
发布于
2020年8月6日
许可协议